刘谦在今年春晚表演的魔术引发网友热议，对此，北京大学官方进行了详细解读，并揭秘背后的数学问题 ——“约瑟夫问题”。

　　魔术操作步骤：步骤1：将准备好的 4 张扑克牌平均撕成两份，并叠在一起。步骤2：将牌堆顶数量为的牌移至牌堆底。步骤3：将前三张牌放在牌堆中间并取出牌堆顶的牌，放置在一旁。步骤4：取出牌堆顶的若干张牌插入牌堆中间，此处选择的牌数为南方人取 1 张，北方人取 2 张，若不确定是南方人还是北方人取 3 张。步骤5：男生扔掉牌堆顶 1 张，女生扔掉牌堆顶 2 张。步骤6：执行“见证奇迹的时刻”循环，每说一个字，就取出牌堆顶一张牌放置在牌堆底。步骤7：从牌堆顶开始，每次先将牌堆顶的一张牌放在牌堆底，再扔掉牌堆顶的一张牌，重复以上操作直到只剩一张牌，检查此牌和放置在一旁的牌是否吻合。若吻合，则魔术成功。魔术步骤揭秘：我们令选择的四张扑克牌分别为 1234，将他们分别撕开后，产生了标号分别为 1234 的两套扑克牌，叠在一起后形成了从上至下标号分别为 12341234 的扑克牌堆。

　　▲ 此时我们可以无论我们将牌堆顶的多少张牌移到堆底，得到的扑克牌堆编号都只会有以下几种结果：

　　观察以上可能的牌堆，我们可以发现产生的牌堆都具有以下性质：

　　1. 前四张牌和后四张牌的顺序完全一样

　　2. 前四张牌和后四张牌分别是 1234 的一个轮换

　　从这一步开始，我们只考虑当前牌堆中排在第四及第八的两张牌，记为 X，其他牌记为 0。那么根据上一步的讨论，可以得到当前的牌堆形如：将前三张放在牌堆中间后，无论这三张放在什么位置，最终产生的牌堆都将是：于是乎，被选择的用于配对的牌就将是 X，而另一张与之配对的牌将位于牌堆底。

　　在上一步之后，牌堆的编号为

　　此时男生的牌堆为：

　　通过尝试可知，在经过步骤六后将得到如下的牌堆：

　　男生：0000X0

　　女生：00X00

　　到此，便完成刘谦本次魔术的步骤揭秘，北京大学进一步解释称这其实是一个“约瑟夫问题”：

　　设有编号为 1，2，……，n 的 n 个人围成一个圈，从第 1 个人开始报数，报到 m 时停止报数，报 m 的人出圈。再从他的下一个人起重新报数，报到 m 时停止报数，报 m 的出圈...... 按照这个规则进行下来，直到所有人全部出圈为止。求最后留下来的人编号。 为了使问题简化，我们考虑 n 个人编号为 0 ~ n-1 的情况，每 m 个人退出一个人，我们称之为问题。第一个人退出之后，对剩下的 n-1 个人重新编号，则新问题的 k 号在原问题中对应 k+m 号。因此问题的解 J = J +m 且 J = 1。据此，通过递推的方法可以得到 J 。在实践中，约瑟夫问题一般用代码进行求解。刘谦的魔术中使用的便是 m=2 的特殊情况。