举例说明纵向一体化战略 举出例子

　　关于通用与费雪纵向一体化案例的进一步思考 2008-02-29 23:59 交易成本经济学认为：企业专用性投资的增加会增加敲竹杠的有关市场交易成本，进而增加纵向一体化的可能性。而研究纵向一体化，最为经典的莫过于通用汽车公司兼并费雪车身公司这一案例了。为了便于分析，在这里将这个过程简单回顾一下。1919年，通用汽车公司与费雪公司签订了为期十年的提供封闭型车身的协议。协议规定通用汽车公司所需的所有封闭型车身必须在费雪公司购买，供货价格为成本加上17.6%的盈利（成本中不包括投资的资本利息），同时，给通用汽车公司车身的价格变化幅度不能超过费雪公司给其他汽车制造商同类车身价格的变化幅度，也不能超过除费雪公司以外的其他公司生产同类车身的市场平均价格。这种合同安排的主要宗旨在于鼓励费雪车身公司专用性投资，同时防范双方的机会主义行为，但是，不幸的是，这种情况还是发生了。由于价格的变化主要来自于成本，因而费雪公司采用高度劳动密集型技术，同时拒绝将车身生产工厂建立在毗邻通用汽车公司的装配工厂附近，这种安排对于费雪公司是有利的，因为车身价格等于公司的可变成本加17.6%的利润率，即费雪公司的劳动力和运输成本上加上17.6%的利润率。最后，通用公司忍无可忍，购买了费雪公司的剩余股票，并于1962年最终吞并了费雪公司。科斯认为，通过纵向一体化，一系列契约被一个契约代替了，从而减少了与制定和执行合同有关的签约成本，而由于市场的运行是有成本的，如果允许企业家来支配资源，就能节约某些市场运行成本。显然，在这里，科斯将签约成本当成一个重要的交易成本构成了，但是，在通用汽车公司兼并费雪车身公司这一案例中，契约减少的数量并不明显。在费雪车身作为一个独立的企业时，企业的所有雇员都要与费雪兄弟签订合约，而被兼并后，雇员的签约对象变成了通用汽车，另外再加上通用汽车与费雪兄弟的合约，因此，可以说，在兼并前后，契约数量的变化并不大，显然，签约成本并不是主要的交易成本组成部分。而通用汽车之所以要兼并费雪车身公司，显然兼并对它是有利可图的；而对于费雪车身公司，如果保持独立能获得更大的收益，那么它也是不会接受兼并的，因此可以认定费雪公司至少没有从这次兼并中蒙受损失。没有证据表明通用汽车的管理水平显著高于费雪车身公司，二者的人力资本也同样是由企业家指挥。给定签约成本基本不变，生产率没有明显变化的情况下，兼并又得以实施，那么兼并的收益从什么地方来？兼并所产生的收益又如何分配？对此，克莱因的回答是：纵向一体化节约的交易成本并非主要源自科斯强调的制定合约的签约成本，而是源于契约所诱发的与敲竹杠有关的成本。由于专用性投资可能诱发敲竹杠，通过纵向一体化改变了企业组织资产的所有权，创造了一定程度的灵活性，从而避免了不完全合约下敲竹杠的可能，避免了不完全合约下谈判和再谈判过程中产生的租金耗散，进而显著地节约了交易成本。同时，通过纵向一体化，人力资本的敲竹杠问题也能得以解决。因为纵向一体化不但令费雪兄弟成为通用公司的雇员，而且将费雪车身的全部雇员收归旗下。通过获取费雪公司的组织所有权，包括该组织中全部写作生产工人的劳动合同以及如何制造车身的全部知识，通用公司从购买车身转变为制造车身。因为从拥有企业的一系列相互依赖的劳动合同以及具体化在组织中的雇员团队的企业专用知识的意义而言，企业的所有者才能够拥有该企业的人力资本。……经过这样的权力转移后，不再发生敲竹杠问题的根本原因在于，作为经济主体的雇员数目庞大，以至于难以达成共谋，不可能所有雇员同时开小差或者离职，因而大型团队组织中纵向一体化意味着人力资本的所有权十分接近于实物资本。这个洞见无疑是深刻的，但是，从个体主义的角度出发，那么具体是谁在实施敲竹杠？企业的契约理论认为，企业是一种法律虚构，是一系列契约的连接，企业本身是没有思想和动机的，那么如果存在敲竹杠动机或者行为，在这个案例中，到底是谁在敲竹杠？这是克莱因所没有回答的问题。另外，给定人力资本只存在于其载体这一事实，纵向一体化解决人力资本专用性的判断是严谨的吗？企业无非是一个人力资本和非人力资本之间的合约，而拥有这些资本的显然就是人力资本所有者和非人力资本所有者，因此，真正可能敲竹杠的可能是人力资本所有者或非人力资本所有者。在这个案例中，被认为敲竹杠的主要是费雪公司，因此我们将注意力聚焦在费雪公司的人力资本和非人力资本所有者。首先分析纵向一体化后人力资本敲竹杠的问题。由于通用性人力资本的特性，因此其市场价值是相对固定的，兼并前后应该不影响通用性人力资本的报酬，因此我们着重分析专用性人力资本。如果某一特定的专用性人力资本在兼并前付出一定量的劳动，并且得到与之相当的报酬，在兼并后，可能发生两种情况。其一是报酬降低，由于专用性人力资本只有在与特定的交易对象交易时，才能创造出更大的价值，这种专用性人力资本在其他地方将会急剧贬值，因此可以认定通用汽车有这种冲动降低专用性人力资本的报酬。但是，由于人力资本的主动性特征，并且专用性人力资本具有不可替代的特征，在降低报酬之后，专用性人力资本完全可以用偷懒来对抗通用汽车公司的敲竹杠，从而迫使公司提高支付。从另外一个角度，如果通用汽车公司可以对费雪车身公司的具有专用性人力资本的雇员实施敲竹杠策略，那么费雪公司独立的时候仍然也可以实施类似策略，因此通用公司在兼并后对拥有专用性人力资本的所有者实施不同于费雪公司的敲竹杠策略是行不通的（由于材料有限，我们无法得知费雪车身公司独立的时候公司是否对员工实施敲竹杠，况且费雪公司对员工实施敲竹杠并不是通用公司所关心的，所以这不是通用公司兼并费雪车身公司的重要原因）。其二是要求提高报酬，这种情况仍然很难发生，因为索要过高的报酬可能遭致公司弃用，从而使得专用性人力资本毫无价值，因此专用性人力资本将抑制自己索要高价的冲动，选择继续与新公司合作。也就是说，在兼并前后，费雪车身公司的雇员的行为和报酬将会大致保持不变。另外，通用汽车为了维持员工队伍的稳定，一如大多数兼并案例所表现的那样，可能会对其中拥有专用性人力资本的重要成员增加报酬。因此，人力资本敲竹杠问题并不是通用公司兼并费雪公司的主要原因，如果人力资本有敲竹杠的嫌疑，那么兼并前后应该不会有太大的改善，如果能改善的话，那么费雪公司在独立的时候就解决了。没有任何证据表明通用公司在解决人力资本敲竹杠的问题上比费雪公司高出一筹。另外，克莱因所谓的大型团队组织中纵向一体化意味着人力资本接近于非人力资本的判断也稍嫌武断。人力资本与非人力资本的特性迥异，才导致对二者的治理方式截然不同。在这个案例中，除了费雪兄弟以外的其他雇员，只要他们在兼并前后的劳动强度和报酬大致不变，受谁指挥都是没有关系的；同时，这些雇员在长期合作中获得的专用性知识，也只有在被兼并后的这个公司才能得以发挥，而只有专用性人力资本有了用武之地，才能创造效益并获得收益，这才是费雪公司的大部分雇员仍然选择继续留下的最根本的原因。然后分析非人力资本所有者。既然兼并前后人力资本所有者报酬保持基本不变，那么，兼并之前的敲竹杠行为所带来的收益只能归非人力资本所有者所有。的确，在保证了雇员的合约支付之后，任何从对手那里敲竹杠得到的收益都将归非人力资本所有者所有。也就是说，真正对通用公司实施敲竹杠的是费雪车身公司的非人力资本所有者。通过以上分析，我们可以得到这样的结论：纵向一体化只是解决了非人力资本所有者之间可能产生的敲竹杠的问题。对于人力资本，由于人力资本只存在于载体中（我们暂时搁置人力资本的所有权问题），无法通过纵向一体化进入企业，简单的纵向一体化也无法解决人力资本敲竹杠的问题。或者说如果只是纵向一体化，而没有其他针对人力资本的特别的治理措施，人力资本的敲竹杠问题将无法得到改善（至于专用性人力资本的治理机制，将另外行文讨论）。同时，由于在企业已经存在的情况下，非人力资本作为一种被动性资产，无法创造价值，只有与具有主动性的人力资本结合起来，才能创造价值，而现代企业理论虽然也认识到人力资本的重要性，但是却没有将其放到应有的高度，在分析企业时，仍然以非人力资本为主体，由于这种认知角度的误差，使得我们对企业的认识缺乏更深刻的把握。实践中，以非人力资本为主体来认知企业的这种是而是非的理论也误导了公众的视线，从而使得企业的运营并没有达到应有的效率。

　　勾股定理的实质？

　　勾股定理又叫毕氏定理：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等於两条直角边边长平方之和。

　　据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！又据记载，现时世上一共有超过 300 个对这定理的证明！

　　勾股定理是几何学中的明珠，所以它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。

　　勾股定理的证明：在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。

　　首先介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别

　　1．中国方法：画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。

　　左图与右图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右两图中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左图剩下两个正方形，分别以a、b为边。右图剩下以c为边的正方形。于是

　　a^2+b^2=c^2。

　　这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。

　　2．希腊方法：直接在直角三角形三边上画正方形，如图。

　　容易看出，

　　△ABA’ ≌△AAC 。

　　过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。

　　△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。

　　于是， S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，

　　即 a2+b2=c2。

　　至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。

　　这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。

　　以上两个证明方法之所以精彩，是它们所用到的定理少，都只用到面积的两个基本观念：

　　⑴ 全等形的面积相等；

　　⑵ 一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积。

　　这是完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解。

　　我国历代数学家关于勾股定理的论证方法有多种，为勾股定理作的图注也不少，其中较早的是赵爽（即赵君卿）在他附于《周髀算经》之中的论文《勾股圆方图注》中的证明。采用的是割补法：

　　如图，将图中的四个直角三角形涂上朱色，把中间小正方形涂上黄色，叫做中黄实，以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，他肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”。

　　赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观。

　　西方也有很多学者研究了勾股定理，给出了很多证明方法，其中有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。

　　下面介绍的是美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明。

　　如图，

　　S梯形ABCD= (a+b)2

　　= (a2+2ab+b2)， ①

　　又S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED

　　= ab+ ba+ c2

　　= (2ab+c2)。 ②

　　比较以上二式，便得

　　a2+b2=c2。

　　这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁。

　　1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证明。5年后，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法，这在数学史上被传为佳话。

　　在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个直角三角形与原三角形相似。

　　如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°。作CD⊥BC，垂足为D。则

　　△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。

　　由△BCD∽△BAC可得BC2=BD ? BA， ①

　　由△CAD∽△BAC可得AC2=AD ? AB。 ②

　　我们发现，把①、②两式相加可得

　　BC2+AC2=AB（AD+BD），

　　而AD+BD=AB，

　　因此有 BC2+AC2=AB2，这就是

　　a2+b2=c2。

　　这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。

　　在对勾股定理为数众多的证明中，人们也会犯一些错误。如有人给出了如下证明勾股定理的方法：

　　设△ABC中，∠C=90°，由余弦定理

　　c2=a2+b2-2abcosC，

　　因为∠C=90°，所以cosC=0。所以

　　a2+b2=c2。

　　这一证法，看来正确，而且简单，实际上却犯了循环证论的错误。原因是余弦定理的证明来自勾股定理。

　　人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。

　　欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。

　　从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。

　　勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。

　　若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。

　　勾股定理

　　勾股定理又叫商高定理、毕氏定理，或称毕达哥拉斯定理（Pythagoras Theorem）．

　　在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a²+b²=c²

　　据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！

　　中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的第一章,就有这条定理的相关内容：周公问：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高答：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘。得成三、四、五，两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”就是说，矩形以其对角相折所称的直角三角形，如果勾（短直角边）为3，股（长直角边）为4，那么弦（斜边）必定是5。从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要的数学原理了。

　　在西方有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。

　　实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例。除上述两个例子外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑。比如说，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得证实。”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为 30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。

　　勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。（※关于勾股定理的详细证明，由于证明过程较为繁杂，不予收录。）

　　人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。

　　欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。

　　从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。

　　勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。

　　若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。

　　如此等等。

　　【附录】

　　一、【《《周髀算经》·》简介】

　　《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。

　　《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。

　　二、【伽菲尔德证明勾股定理的故事】

　　1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。

　　于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

　　解：勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，

　　a²+b²=c²

　　说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。

　　举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c2= a2+b2=9+16=25

　　则说明斜边为5。

　　勾股定理

　　第一章 勾股定理一、 勾股定理的内容，勾股定理是怎样得到的，从定理的证明过程中你得到了什么启示？练习：如图字母B所代表的正方形的面积是 ( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 1、在△ABC中,∠C =Rt∠. (1) 若a =2,b =3则以c为边的正方形面积 = (2) 若a =5,c =13.则b = . (3) 若c =61,b =11.则a = . (4) 若a∶c =3∶5且c =20则 b = . (5) 若∠A =60°且AC =7cm则AB = cm，BC 2 = cm2. 2、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于 cm. 3、等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边的长为 cm. 4、△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC边上的高AD = cm. 5、已知：△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC= ,DB=2cm ,则BC cm, AB= cm, AC= cm. 6、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为_________。 7、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_________________________米。

　　8、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）

　　A、25 B、14 C、7 D、7或25

　　9、小丰妈妈买了一部29英寸(74cm)电视机,下列对29英寸的说法中正确的是

　　A. 小丰认为指的是屏幕的长度; B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度;

　　C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长; D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度

　　10、

　　二、 你有几种证明一个三角形是直角三角形的方法？

　　练习：

　　三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )

　　A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.

　　1、在ΔABC中,若AB2 + BC2 = AC2,则∠A + ∠C＝ °。

　　2、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（ ）

　　（A） 直角三角形 (B)锐角三角形

　　（B） (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对

　　已知三角形的三边长分别是2n+1,2n +2n, 2n +2n+1（n为正整数）则最大角等于_________度.

　　3、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。

　　阅读材料：

　　三角学里有一个很重要的定理，我国称它为勾股定理，又叫商高定理。因为《周髀算经》提到，商高说过勾三股四弦五的话。下面介绍其中的几种证明。

　　最初的证明是分割型的。设a、b为直角三角形的直角边，c为斜边。考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B。将A分成六部分，将B分成五部分。由于八个小直角三角形是全等的，故从等量中减去等量，便可推出：斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为，直角三角形三个内角和等于两个直角。如上证明方法称为相减全等证法。B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”。

　　下图是H．珀里加尔（Perigal）在1873年给出的证明，它是一种相加全等证法。其实这种证明是重新发现的，因为这种划分方法，labitibn Qorra（826～901）已经知道。（如：右图）下面的一种证法，是H•E•杜登尼（Dudeney）在1917年给出的。用的也是一种相加全等的证法。

　　如右图所示，边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积，等于边长为c的正方形面积。

　　下图的证明方法，据说是L•达•芬奇（da Vinci, 1452～1519）设计的，用的是相减全等的证明法。

　　欧几里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命题47中，给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明，如次页上图。由于图形很美，有人称其为“修士的头巾”，也有人称其为“新娘的轿椅”，实在是有趣。华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙，和“外星人”去交流。其证明的梗概是：

　　(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。

　　同理，(BC)2=KEBL

　　所以

　　(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2

　　印度数学家兼天文学家婆什迦罗（Bhaskara，活跃于1150年前后）对勾股定理给出一种奇妙的证明，也是一种分割型的证明。如下图所示，把斜边上的正方形划分为五部分。其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形；一部分为两直角边之差为边长的小正方形。很容易把这五部分重新拼凑在一起，得到两个直角边上的正方形之和。事实上，

　　婆什迦罗还给出了下图的一种证法。画出直角三角形斜边上的高，得两对相似三角形，从而有

　　c/b=b/m，

　　c/a=a/n,

　　cm=b2

　　cn=a2

　　两边相加得

　　a2+b2=c(m+n)=c2

　　这个证明，在十七世纪又由英国数学家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新发现。

　　有几位美国总统与数学有着微妙联系。G•华盛顿曾经是一个著名的测量员。T•杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育。A．林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。更有创造性的是第十七任总统J．A．加菲尔德（Garfield, 1831～1888），他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。在1876年，（当时他是众议院议员，五年后当选为美国总统）给出了勾股定理一个漂亮的证明，曾发表于《新英格兰教育杂志》。证明的思路是，利用梯形和直角三角形面积公式。如次页图所示，是由三个直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面积得

　　即

　　a2+2ab+b2=2ab+c2

　　a2+b2=c2

　　这种证法，在中学生学习几何时往往感兴趣。

　　关于这个定理，有许多巧妙的证法（据说有近400种），下面向同学们介绍几种，它们都是用拼图的方法来证明的。

　　证法1 如图26-2，在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它们的面积分别为c2，b2和a2。我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。

　　过C引CM‖BD，交AB于L，连接BC，CE。因为

　　AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，

　　所以 △ACE≌△AGB

　　而

　　所以

　　SAEML=SACFG (1)

　　同法可证

　　SBLMD=SBKHC (2)

　　(1)+(2)得

　　SABDE=SACFG+SBKHC，

　　即 c2=a2+b2

　　证法2 如图26-3（赵君卿图），用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH，它的边长是a+b，在它的内部有一个内接正方形ABED，它的边长为c，由图可知。

　　SCFGH=SABED+4×SABC，

　　所以 a2+b2=c2

　　证法3 如图26-4（梅文鼎图）。

　　在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，在直角边AC上又作正方形ACGF。可以证明（从略），延长GF必过E；延长CG到K，使GK=BC=a，连结KD，作DH⊥CF于H，则DHCK是边长为a的正方形。设

　　五边形ACKDE的面积=S

　　一方面，

　　S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积

　　=c2+ab (1)

　　另一方面，

　　S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积

　　+2倍△ABC面积

　　=b2+a2+ab. (2)

　　由(1)，(2)得

　　c2=a2+b2

　　证法4 如图26-5（项名达图），在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的两个直角边CA，CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ（图26-5）。可以证明（从略），GF的延长线必过D。延长AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF于H，则EKGH必为边长等于a的正方形。

　　设五边形EKJBD的面积为S。一方面

　　S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)

　　另一方面，

　　S=SBEFG+2•S△ABC+SGHFK

　　=b2+ab+a2

　　由(1)，(2)得

　　c2=a2+b2

　　杨作枚图；

　　何梦瑶图；

　　陈杰图；

　　华蘅芳图

　　都是用面积来进行验证：一个大的面积等于几个小面积的和。利用同一个面积的不同表示法来得到等式，从而化简得到勾股定理）图见

　　数学勾股定理题一个要过程

　　再过两天，我们将开始学习勾股定理。毕达哥拉斯定理或勾股定理的和弦，也被称为毕达哥拉斯定理或勾股定理（毕达哥拉斯定理）。是一个基本的几何定理，传统上认为是由毕达哥拉斯古希腊证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，切成一百头牛的庆祝活动，也被称为“百牛定理”。在中国，“周髀算经”记载了勾股定理的特例，相传存在于商代由高提供者，所以它也被称为商业高定理;对“周髀算经”勾股定理赵爽三国时代里做了详细的笔记，作为证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。在一个直角三角形的斜边的平方等于两个侧面成直角的长边边长的正方形。如果两个直角三角形边，分别A，B，斜边为c，则A + B平方平方平方= C，即α*α+ B * B = C * C促销：指数n的变化，变得不到数时，等号的时候钝角三角形，其中么平方+ B C的平方的平方，即A * A + B * B 平方，即A * A + B * B C * C据考证，人类认识这个定理，少说也有4000多年的毕达哥拉斯数：能够形成^ + B = ^ C ^ 3正整数称为勾股数。事实上，在早期人类活动，人们已经认识到，这个定理的特殊情况。除了上面的两个例子，据说古埃及人也曾利用“钩子的四弦三股五”规则，以确定合适的角度。然而，这个传说引起太多的数学历史学家怀疑。例如，数学系教授M中的美国历史学家·克莱因曾经说过：“我们不知道是不是埃及人认识到，我们知道他们有一个拉绳人（测量师）勾股定理，但通过他们使用13等距节点放一根绳子。到12段，如长度，工匠按住第一个节，13节绳子，两个助手分别持有的前四节和8节，拉紧绳子，然后用来形成一个直角三角形的说，你从来没有被证实的任何文件“不过，考古学家们发现了几件即将在公元前2000年左右完成，巴比伦泥板书，据专家研究，一块刻有以下问题：”？棒30的长度台直立在墙上，当其上滑动6部，请问有多远左下角“这是一个三方为3：4：5三角形的特殊情况;专家们还发现了另一块泥板刻有表的一些奇特的，桌子上刻有四个列15中共行号，这是一个勾股数表：最右边为1-15的序号，而剩下的三列分别是股票，钩，数字串，共录得15套勾股数。由此可见，其实勾股定理已经进入了人类知识的宝库。勾股定理是珍珠的形状，它是充满魅力，千百年来，人们争相来证明这一点，其中包括著名的数学家，画家，同时也业余数学爱好者，也有普通百姓，也杰出政要显贵，而即使该国总统。也许是因为勾股定理既重要又简单实用，更容易吸引人，这使得它一百遍反复被炒作，一再被证明。 1940年出版了一本书叫“勾股定理”勾股定理专辑的证明，它收集367种不同的行之有效的方法。其实还不止于此，我们的数据显示，勾股定理的证明有500余种，已故清华恒方只有数学家将提供二十余种美妙的证明。这是无法比拟的定理。 （※关于勾股定理的细节来证明，因为认证过程比较复杂，不包括在内。）毕达哥拉斯的原因，人们感兴趣的是，它可以用于促销。欧几里德给出的勾股定理推广他的“几何”：“两直角直边的双方？的直边形的直角三角形的斜边，该地区具有相似的形状面积的总和“这个定理可以从上面的下面的定理介绍：”做一个直角三角形三边直径的圆，地方斜边是由直径为两直角边等于？两个做了一个圆形区域的直径和占地圆面积。“毕达哥拉斯定理也可以扩展到空间：直角三角形的三角棱镜作为类似于相应多面体，面积多面体成直角的斜边的端部的表面面积等于两个多面体表面积的总和。在三边的三角形的直径分别计算，为球，面积斜边的球的表面积等于两个直角？球的表面区域的边缘并做了两个。等等。

　　勾股定理的魅力 老师让我们写的，请大家帮我想好吗，哪怕一句也行

　　勾股定理

　　[本段]

　　在初二我们将初步学习勾股定理.

　　勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。

　　在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a的平方＋b的平方＝c的平方;，即α*α+b*b=c*c

　　推广：把指数改为n时，等号变为小于号

　　据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年

　　勾股数：是指能组成a^+b^=c^的三个正整数称为勾股数.

　　实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例。除上述两个例子外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑。比如说，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得证实。”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为 30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。

　　勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。（※关于勾股定理的详细证明，由于证明过程较为繁杂，不予收录。）

　　人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。

　　欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。

　　从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。

　　勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。

　　若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。

　　如此等等。

　　【附录】

　　《周髀算经》简介

　　[本段]

　　《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。

　　伽菲尔德证明勾股定理的故事

　　[本段]

　　1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。

　　于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

　　如下:

　　解：勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，

　　a^2;+b^2;=c^2;

　　说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。

　　举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c2= a2+b2=9+16=25

　　则说明斜边为5。

　　勾股定理

　　[本段]

　　第一章 勾股定理一、 勾股定理的内容，勾股定理是怎样得到的，从定理的证明过程中你得到了什么启示？练习：如图字母B所代表的正方形的面积是 ( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 1、在△ABC中,∠C =Rt∠. (1) 若a =2,b =3则以c为边的正方形面积 = (2) 若a =5,c =13.则b = . (3) 若c =61,b =11.则a = . (4) 若a∶c =3∶5且c =20则 b = . (5) 若∠A =60°且AC =7cm则AB = cm，BC 2 = cm2. 2、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于 cm. 3、等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边的长为 cm. 4、△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC边上的高AD = cm. 5、已知：△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC= ,DB=2cm ,则BC cm, AB= cm, AC= cm. 6、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为_______。 7、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高________米。

　　8、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）

　　A、25 B、14 C、7 D、7或25

　　9、小丰妈妈买了一部29英寸(74cm)电视机,下列对29英寸的说法中正确的是

　　A. 小丰认为指的是屏幕的长度; B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度;

　　C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长; D. 售货员认为指的是屏幕对角线、

　　二、 你有几种证明一个三角形是直角三角形的方法？

　　练习：

　　三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( )

　　A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.

　　1、在ΔABC中,若AB2 + BC2 = AC2,则∠A + ∠C＝ °。

　　2、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（ ）

　　（A） 直角三角形 (B)锐角三角形

　　（B） (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对

　　已知三角形的三边长分别是2n+1,2n +2n, 2n +2n+1（n为正整数）则最大角等于_________度.

　　3、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。

　　各具特色的证明方法

　　[本段]

　　三角学里有一个很重要的定理，我国称它为勾股定理，又叫商高定理。因为《周髀算经》提到，商高说过勾三股四弦五的话。下面介绍其中的几种证明。

　　最初的证明是分割型的。设a、b为直角三角形的直角边，c为斜边。考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B。将A分成六部分，将B分成五部分。由于八个小直角三角形是全等的，故从等量中减去等量，便可推出：斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为，直角三角形三个内角和等于两个直角。如上证明方法称为相减全等证法。B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”。

　　下图是H．珀里加尔（Perigal）在1873年给出的证明，它是一种相加全等证法。其实这种证明是重新发现的，因为这种划分方法，labitibn Qorra（826～901）已经知道。（如：右图）下面的一种证法，是H•E•杜登尼（Dudeney）在1917年给出的。用的也是一种相加全等的证法。

　　如右图所示，边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积，等于边长为c的正方形面积。

　　下图的证明方法，据说是L•达•芬奇（da Vinci, 1452～1519）设计的，用的是相减全等的证明法。

　　欧几里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命题47中，给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明，如次页上图。由于图形很美，有人称其为“修士的头巾”，也有人称其为“新娘的轿椅”，实在是有趣。华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙，和“外星人”去交流。其证明的梗概是：

　　(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。

　　同理，(BC)2=KEBL

　　所以

　　(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2

　　印度数学家兼天文学家婆什迦罗（Bhaskara，活跃于1150年前后）对勾股定理给出一种奇妙的证明，也是一种分割型的证明。如下图所示，把斜边上的正方形划分为五部分。其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形；一部分为两直角边之差为边长的小正方形。很容易把这五部分重新拼凑在一起，得到两个直角边上的正方形之和。事实上，

　　婆什迦罗还给出了下图的一种证法。画出直角三角形斜边上的高，得两对相似三角形，从而有

　　c/b=b/m，

　　c/a=a/n,

　　cm=b2

　　cn=a2

　　两边相加得

　　a2+b2=c(m+n)=c2

　　这个证明，在十七世纪又由英国数学家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新发现。

　　有几位美国总统与数学有着微妙联系。G•华盛顿曾经是一个著名的测量员。T•杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育。A．林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。更有创造性的是第十七任总统J．A．加菲尔德（Garfield, 1831～1888），他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。在1876年，（当时他是众议院议员，五年后当选为美国总统）给出了勾股定理一个漂亮的证明，曾发表于《新英格兰教育杂志》。证明的思路是，利用梯形和直角三角形面积公式。如次页图所示，是由三个直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面积得

　　即

　　a2+2ab+b2=2ab+c2

　　a2+b2=c2

　　这种证法，在中学生学习几何时往往感兴趣。

　　关于这个定理，有许多巧妙的证法（据说有近400种），下面向同学们介绍几种，它们都是用拼图的方法来证明的。

　　证法1 如图26-2，在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它们的面积分别为c2，b2和a2。我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。

　　过C引CM‖BD，交AB于L，连接BC，CE。因为

　　AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG，

　　所以 △ACE≌△AGB

　　SAEML=SACFG (1)

　　同法可证

　　SBLMD=SBKHC (2)

　　(1)+(2)得

　　SABDE=SACFG+SBKHC，

　　即 c2=a2+b2

　　证法2 如图26-3（赵君卿图），用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH，它的边长是a+b，在它的内部有一个内接正方形ABED，它的边长为c，由图可知。

　　SCFGH=SABED+4×SABC，

　　所以 a2+b2=c2

　　证法3 如图26-4（梅文鼎图）。

　　在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，在直角边AC上又作正方形ACGF。可以证明（从略），延长GF必过E；延长CG到K，使GK=BC=a，连结KD，作DH⊥CF于H，则DHCK是边长为a的正方形。设

　　五边形ACKDE的面积=S

　　一方面，

　　S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积

　　=c2+ab (1)

　　另一方面，

　　S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积

　　+2倍△ABC面积

　　=b2+a2+ab. (2)

　　由(1)，(2)得

　　c2=a2+b2

　　证法4 如图26-5（项名达图），在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的两个直角边CA，CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ（图26-5）。可以证明（从略），GF的延长线必过D。延长AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF于H，则EKGH必为边长等于a的正方形。

　　设五边形EKJBD的面积为S。一方面

　　S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)

　　另一方面，

　　S=SBEFG+2•S△ABC+SGHFK

　　=b2+ab+a2

　　由(1)，(2)

　　得出论证

　　都是用面积来进行验证：一个大的面积等于几个小面积的和。利用同一个面积的不同表示法来得到等式，从而化简得到勾股定理）图见

　　勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法！但有记载的第一个证明——毕达哥拉斯的证明方法已经失传。目前所能见到的最早的一种证法，属于古希腊数学家欧几里得。他的证法采用演绎推理的形式，记载在数学巨著《几何原本》里。在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a） 2 。于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化简后便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 以下为赵爽的“勾股圆方图”： 以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展， 只是具体图形的分合移补略有不同而已。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。 以下为刘徽的“青朱出入图”：

　　勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载：禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。

　　勾股定理在我们生活中有很大范围的运用.

　　Nugan Hand Bank 是哪国的银行，涉及的银行丑闻

　　20世纪70年代末期，美国国税局开始调查卡斯托银行（CastleBank）的金融业务。该银行位于巴哈马首府拿骚，其创始人是中央情报局的一个退休特工，名叫保罗·赫利韦尔（PaulHelliwell）。卡斯托银行的分支机构遍布拉丁美洲，这些机构经由“友好”银行为保罗以前的雇主提供从事秘密金钱交易的机会。其他客户则竭尽全力利用这家银行的“专长”偷税漏税。该银行客户名单提到过的两个客户，均为色情杂志的大佬，一个是《花花公子》杂志的休·赫夫纳，另一个是《藏春阁》（Penthouse）的鲍勃·古斯尼。当美国国税局怀疑其进行洗钱交易时，美国中央情报局从中阻挠。该案本可能成为历史上最大规模的逃税案，但中央情报局以国家安全为名妨碍调查，使调查行动最终流产。那时，中央情报局正在利用这家银行，把其作为美国针对古巴和拉丁美洲从事秘密活动的融资渠道。最后，卡斯托银行瓦解，被一家名为“纽甘-汉德”（Nugan-Hand）的澳大利亚银行取代，于是，卡斯托银行在拉丁美洲和欧洲建成的某些网络被这家银行接管。

　　为这家银行取名为“纽甘-汉德”的两位创始人能联合创业，的确有些出人意料。弗兰克·纽甘是澳大利亚一位不称职的三流律师。迈克尔·约翰·汉德以前在美国“绿色贝雷帽特种部队”服役，曾以中央情报局签约特工的身份被派往老挝，为老挝北部的红族（Hmong）游击队担任顾问。汉德在金边之外活动时，与美国中央情报局驻当地的站点主任西奥多·沙克利及其副手托马斯·克莱因斯成了朋友。后来，艾尔弗雷德·麦科伊教授在其1972年出版的影响深远的大作《海洛因政治学：中央情报局是毒品交易的同谋》（ThePoliticsofHeroin：CIAComplicityintheDrugTrade）中揭露：中央情报局动用-美国航空公司（保罗·赫利韦尔创建）将红族的鸦片运往各地市场。这种所谓的秘密活动，只不过是此前法国政府的秘密情报机构法国外国情报与反谍报署（SDECE）的所作所为的延续罢了。法国在奠边府战役中被打败之前，法国一直控制着印度支那的毒品贸易。这个事实非但没有指出这些活动存在的正当原因，相反，可以肯定的是，秘密控制毒品分销的做法，完全是这些国家进行反社会主义的政治工具。因此，汉德给他的创业伙伴纽甘没有带来任何银行从业经验，他带来的是情报和非法活动的联络人。

　　1973年，通过公然的银行欺诈，纽甘-汉德有限公司正式成立。公司实缴股本仅5美元，公司银行账户上仅有80美元的资金，然而，令人震惊的是，纽甘为自己的公司开出了一张98000美元的支票，认购自己公司的

　　490000股股票。接着，纽甘又利用银行在结算支票时时间上的滞后性，以公司名义给自己开出了同等金额大小的支票。这项交易的结果会在公司账目中显示，进而可以“证明”该公司的股东实缴股本接近100万美元。要利用银行进一步实施欺诈活动，他们需要拥有高档的办公室，于是，他们在悉尼商务区的中心地带-麦加里大街55号买下了高档办公室。接下来，他们聘请资本市场的知名经理人，让他们在业余时间为其效劳，整理账务。从表面上看，他们的业务量很大。所以，这就给了人们一个错觉：这个银行的业务十分繁忙。在涉值高达240万美元的交易中，这家银行的亏损超过18000美元。不论怎么说，合法地赚钱似乎是一项难以完成的艰巨任务。到1976年，该银行声称拥有2200万美元的资产，而且还称他们是纽甘-汉德集团的分部，而这个集团每年在全球的营业收入达10亿美元。所有这些都不是真的。资金的确在不断流经纽甘-汉德银行，而且数额庞大，但这些资金都是非法资金。

　　就在纽甘集中精力协助澳大利亚犯罪集团进行银行业务欺诈活动及洗钱业务时，汉德再次进入美国中央情报局，从事秘密活动。他在南非比勒陀利亚设立了一个办事处，负责为安哥拉的反共游击队“私下”运输军火。美国中央情报局在安哥拉的秘密活动告一段落之后，汉德前往中国香港，负责运营刚成立的纽甘-汉德银行，这家银行的注册地在英属开曼群岛这个避税天堂。这家从事非法业务的银行吸引“阴谋论者”眼球的是其董事会成员的构成名单。汉德竟然能成功地将厄尔·盖茨海军上将招至麾下，让其担任纽甘-汉德银行的董事会主席，要知道，此人退休前可是美国太平洋战区的首席战略家。还有勒鲁瓦·马诺尔上将曾在五角大楼担任反叛乱专家；埃德温·布莱克上将曾担任美国战略情报局官员和驻泰美军总司令；戴尔·霍姆格伦曾任中央情报局旗下的民航空运的董事长。而最令人称奇的，莫过于中央情报局前局长威廉·科尔比，他也坐在该公司董事会的会议室，职位是法律顾问。卡斯托银行倒闭后，汉德发现了机会：美国中央情报局缺乏提供非法融资的银行家，于是，他欣然扮演了这个角色。他的银行在开曼群岛获准营业，这是非常幸运的。

　　有了威廉·科尔比为汉德拟定法务合同，汉德便用银行的资金购买了美国以前在土耳其设立的海军基地及加勒比海的凯科斯群岛，将他们作为在哥伦比亚和美国之间走私海洛因的通道站点。根据那时正对该银行秘密交易进行调查的澳大利亚银行调查官的说法，他们之所以买进这些地方，其目的可能也在于此。没过多久，他们发现，从1976年到1980年，纽甘-汉德银行在业已证实的毒品交易中的洗钱规模达4300万美元。

　　1980年1月27日，在悉尼城外的一条路边，纽甘被发现死于车中，而车门紧锁。很显然，他是用来复枪对准脑袋自杀的。警察在他的钱包里发现了一张名片，这张名片是威廉·科尔比的。不到6个月，纽甘-汉德银行垮了。而迈克尔·约翰·汉德则被安排成功地逃离澳大利亚，安排者不是别人，正是曾在美国中央情报局任职的官员托马斯·克莱因斯。汉德能顺利出逃，正好印证了“阴谋论者”的说法。此后，汉德安全地躲在澳大利亚警方和银行调查员不易发现的地方，再也没有露过面。